四、变换2：三维变换

4.0 有关旋转的补充

旋转矩阵的逆 == 旋转矩阵的转置 ==> 旋转矩阵为正交矩阵 $$ R_{}= ( \[\begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{matrix}\]

) \

R_{-}= ( \[\begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{matrix}\]

) =R_{}^T \

R_{-}=R_^{-1} $$

正交矩阵：$R^T=R^{-1}$

4.1 3D Transformations

4.4.1 齐次坐标

3维点：$(x,y,z,1)^T$
3维点的补充形式：$(x,y,z,w)^T$与$(\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w},1)^T$等价
3维向量：$(x,y,z,0)^T$

4.4.2 仿射变换

Affine Transform：

变换的顺序：先线性变换，后加平移量

4.4.2.1 缩放

4.4.2.2 平移

4.4.2.3 旋转

4.4.2.3.1 绕坐标轴旋转

绕X轴：X不变，YZ旋转
绕Y轴：Y不变，ZX旋转
绕Z轴：Z不变，XY旋转

4.4.2.3.2 绕任意过原点的轴旋转

有两种形式：欧拉角、四元数

四元数：多应用于旋转的插值操作

绕任意轴旋转：分解为欧拉角
1. 将任意轴方向的旋转，分解为绕X、Y、Z轴的旋转：$R_{x,y,z}(\alpha,\beta,\gamma)$
2. $\alpha,\beta,\gamma$也被称为欧拉角
Rodrigues’ Rotation Formula 罗德里格旋转公式
1. 向量v绕过原点的轴n旋转$\alpha$角
2. 向量I为向量v方向的单位向量

推导思路：

v与n垂直时，$\vec{v'}=\cos\alpha*\vec{v}+\sin\alpha*(\vec{n}×\vec{I})$

v与n不垂直时，将v分解为垂直于n的向量v_⊥ 和平行于n的向量v_∥

$\vec{v_∥'}=\vec{v_∥}=|\vec{v}|*cos<\vec{v},\vec{n}>=\vec{v}·\vec{n}·\vec{n}$

$\vec{v_⊥}=\vec{v}-\vec{v_∥}=\vec{v}-\vec{v}·\vec{n}·\vec{n}$

$\vec{v_⊥'}=\cos\alpha*\vec{v_⊥}+\sin\alpha*(\vec{n}×\vec{v_⊥})$

综上可得：$\vec{v'}=\vec{v_∥'}+\vec{v_⊥'}=\cos\alpha*\vec{v}+(1-\cos\alpha)*\vec{v}·\vec{n}·\vec{n}+\sin\alpha*(\vec{n}×\vec{v})$

矩阵形式：$\vec{v'}=\cos\alpha*\vec{v}+(1-\cos\alpha)*\vec{v}·\vec{n}·\vec{n}+\sin\alpha*(\vec{n}×\vec{v})$$

$=[\cos\alpha*\vec{I}+(1-\cos\alpha)*\vec{n}·\vec{n}^T+\sin\alpha*(\vec{n}×\vec{I})]·\vec{v}$

4.4.2.3.2 绕过任意点的任意轴旋转

绕过任意轴n旋转$\alpha$角

先将轴平移至过原点
然后旋转
最后平移回去

4.2 Model & View Transformation

4.2.1 什么是视图变换

与照相类比：MVP变换

照相	对应变换
找一个好的地方、人物排列	模型变换 model transformation
找一个好的角度放置摄像机	视图变换 view transformation
拍照，三维空间投影到二维平面	投影变换 projection transformation

4.2.2 定义Camera

位置Position：$\vec{e}$
往哪看Look-at/gaze direction：$\vec{g}$
向上方向Up direction：$\vec{t}$

4.2.3 关键点：相机与物体的相对位置决定看到的图像

只要摄像机与物体的相对位置一样，所看到的图形就是一样的
将摄像机永远放在一个标准的位置
1. Position：原点
2. Up direction：Y轴
3. Look-at direction：-Z轴
当相机变换时，将物体随着相机变换

4.2.4 将相机移动到标准位置

方法
1. 将$\vec{e}$平移到原点
2. 旋转 $\vec{g}$ 到-Z的方向
3. 旋转 $\vec{t}$ 到Y的方向
4. 旋转 $\vec{g}×\vec{t}$ 到X方向
矩阵表示：设$M_{view}=R_{view}T_{view}$
1. 将$\vec{e}$平移到原点
2. 旋转 $\vec{g}$ 到-Z、 $\vec{t}$ 到Y、$\vec{g}×\vec{t}$ 到X：考虑逆矩阵

4.2.5 总结

将物体与相机一起旋转：Model Transformation ==> $M_{model}$
将相机变换到标准位置：View Transformation ==> $M_{view}$
1. Position：原点
2. Up direction：Y轴
3. Look-at direction：-Z轴

4.3 Projection Transformation

正交投影 Orthographic Projection：不存在近大远小
透视投影 Perspective Projection：存在近大远小，平行线不再平行

4.3.1 正交投影

Orthographic Projection：

思想：直接扔掉物体的Z坐标，然后将其移动到[-1,1]的标准范围内

实际做法：将一个立方体$[l, r]×[b, t]×[f, n]$映射到标准立方体$[-1, 1]^3$上
1. 首先，通过平移操作，将立方体的中心移到原点
2. 然后，通过缩放操作，将立方体缩放为标准立方体
3. 立方体的定义：X轴$[l,r]$；Y轴$[b,t]$；Z轴$[f,n]$
4. 变换之后，物体一定会有拉伸
变换矩阵：先平移到原点，再将$x,y,z$缩放到$2$

$$ M_{ortho}= (
\[\begin{matrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]
)

(
\[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]
)

= (
\[\begin{matrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & -\frac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]
) $$

4.3.2 透视投影

Perspective Projection

基础知识：$(x,y,z,1)$与$(kx,ky,kz,k)$表示同一个点，因此$(xz,yz,z^2,z)$表示的也是这个点

思想：将透视投影转化为正交投影$M_{persp->ortho}$，然后再进行正交投影变换$M_{ortho}$

4.3.2.1 如何进行透视投影

首先，定义从相机点向外的两个平面n、f，f平面要比n平面大
此时就相当于f平面上的点全部投影到n平面上
透视投影的做法
1. 先将Frustum挤成Cuboid($n \rightarrow n，f \rightarrow f'$)，满足如下三个定义：$M_{persp->ortho}$
  1. 近平面$n$永远不变
  2. 远平面$f$的Z值永远不变
  3. 远平面$f$的中心点$(0,0,f)$永远不变
2. 再进行一次正交投影：$M_{ortho}$

4.3.2.2 计算矩阵$M_{persp->ortho}$

思路：找到变换后的点$(x',y',z')$与原来的点$(x,y,z)$的对应关系
从YZ平面上看，挤压前后存在相似三角形，从而可得到$y'=\frac{n}{z}*y$
1. 同理，$x'=\frac{n}{z}*x$
齐次坐标表示
矩阵表示

由3得

因此
对于矩阵的第三行(对于Z值)，有以下性质

在近平面上的点，坐标不变

在远平面上的中心点$(0,0,f)$，坐标不变

根据两个等式，可以解出$A,B$
综上 \[ M_{persp \rightarrow ortho}= \left( \begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix} \right) \]
最后，再进行正交投影：$M_{persp}=M_{ortho}M_{persp->ortho}$

由3得
因此

$$ M_{persp}= ( \[\begin{matrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & -\frac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\]

)

( \[\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix}\]

)

( \[\begin{matrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & -\frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & -\frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & -\frac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix}\]

) $$

4.3.3.3 对于不在近/远平面上的点

$$ ( \[\begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{matrix}\]

)

( \[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix}\]

)

( \[\begin{matrix} nx \\ ny \\ (n+f)z-nf \\ z \\ \end{matrix}\]

)

==> ( \[\begin{matrix} \frac{n}{z}x \\ \frac{n}{z}y \\ (n+f)-\frac{nf}{z} \\ 1 \\ \end{matrix}\]