GAMES101-15：光线追踪3：BRDF & 渲染方程

十五、光线追踪3：BRDF & 渲染方程

15.1 辐射度量学 Basic radiometry

1. 如何描述光照：定义了一系列的方法和单位
2. 给光赋予了一系列空间上的属性（依旧是基于几何光学）
   1. Radiant flux：辐射通量
   2. intensity：强度
   3. irradiance：辐射通量密度
   4. radiance：辐射
3. 在物理上准确定义光照的方法

15.1.1 Radiant Flux/Power：单位时间的能量

1. Radiant Energy：光源辐射出来的能量，\(Q\)，单位为焦耳J，在CG中基本不使用
2. Radiant Flux/Power：单位时间内发射的能量，\(\Phi=\frac{dQ}{dt}\)，单位为瓦特W/流明lm=lumen

15.1.2 Radiant Intensity：单位立体角的能量

1. Radiant Intensity：单位立体角上的power，\(I(\omega)=\frac{d\Phi}{d\omega}\)，单位为坎德拉cd
   1. 也就是光源在某个方向上的亮度

15.1.2.1 立体角 Solid Angles

1. 角度：\(\theta=\frac{l}{r}\)，单位为rad
2. 立体角：\(\Omega=\frac{A}{r^2}\)，单位为sr

15.1.2.2 单位立体角 Differential Solid Angles

1. 单位面积：\(dA=r^2sin\theta\ d\theta\ d\phi\)
2. 单位立体角：\(d\omega=sin\theta\ d\theta\ d\phi\)

15.1.4 Irradiance：单位面积的能量

1. Irradiance：表面上与光线垂直的单位面积接收到的能量，\(E(x)=\frac{d\phi(x)}{dA}\)，单位\(\frac{W}{m^2}\)，\(\frac{lm}{m^2}\)=lux

   1. 如果表面与光线不垂直，则需要投影到垂直方向：\(E(x)=\frac{d\phi(x)}{dA}\ \cos \theta\)，\(\theta\)为光线与法线的夹角

   

2. 光在传播的过程中，Intensity没有变，而Irradiate变小了，因为面积变大了

   

15.1.5 Radiance：单位立体角&单位面积的能量

1. Radiance：表面上与光线垂直的单位面积接收到的能量，\(L(p,\omega)=\frac{d^2\phi(p,\omega)}{d\omega dA cos \theta}\)，单位\(\frac{cd}{ m^2}\)，\(\frac{lm}{sr\ m^2}=\frac{lm}{sr\ m^2}\)=nit
   1. 单位面积的Intensity：\(L(p,\omega)=\frac{dI(p,\omega)}{dA cos \theta}\)
   2. 单位立体角的Irradiance：\(L(p,\omega)=\frac{dE(p)}{d\omega cos \theta}\)

15.1.6 Irradiance vs Radiance

1. Irradiance：单位面积dA接收到的所有能量，\(E(p)\)
2. Radiance：单位面积dA在单位方向dω处接收到的所有能量，\(L(p,\omega)\)

15.2 BRDF：双向反射分布函数

Bidirectional Reflectance Distribution Function

15.2.1 某个点的反射

1. 单位面积dA，在某个单位立体角ω_i处吸收能量dE(ω_i)
2. 会反射到另一个单位立体角ω_r、单位面积的能量dL_r(x, ω_r)

15.2.2 BRDF

1. 入射光的Radiance：dE_i(ω_i)
2. 反射光的Irradiance：dL_r(ω_r)
3. 入射光在反射方向的能量分布比例f_r(ω_i → ω_r)为：
   1. 入射光的Radiance / 反射光的Irradiance

15.2.3 反射方程 Reflection Equation

1. 某个着色点p，当反射方向为ω_r是，反射的光L_r(p, ω_r)为：
   1. 在每个入射方向ω_i的反射的能量f_r(p, ω_i → ω_r) L_i(p, ω_i) cos θ_i，对入射方向立体角dω_i的积分
   2. 只考虑半球H² / Ω+
2. 问题：任何出射的radiance，都可能作为其他着色点的入射的radiance，因此存在递归定义

15.3 渲染方程 Rendering Equation

某个点p向某个方向ω_o出射的光L_o(p, ω_o)由两部分构成

1. 自己产生的光：\(L_e(p, ω_o)\)
2. 反射的光：\(\int_{\Omega+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_o)(n·\omega_i)d\omega_i\)

15.3.1 一个点光源

15.3.2 很多个点光源：加和

15.3.3 面光源：很多个点光源的集合 => 积分

15.3.4 其他表面的反射：当成面光源使用

15.3.5 渲染方程的简化表示

积分方程

线性算子等式

15.3.6 光线弹射n次的光线追踪 => 全局光照

15.4 概率论

15.4.1 PDF：概率分布函数，X ~ p(x)

Probability Distribution Function

15.4.2 随机变量函数的期望