五、渲染：光和材质的数学魔法

5.1 渲染方程及挑战

5.1.1 渲染方程

\[ L_o(x,\omega_o)=L_e(x,\omega_o)+\int_{H^2}f_r(x,\omega_o,\omega_i)L_i(x,\omega_i)\cos\theta_id\omega_i \] radiance：辐射度；光照到物体上，物体反射出去的能量

irradiance：入射的能量

$L_o(x,\omega_o)$：观察点为$x$，观察方向为$\omega_o$，观察到的radiance即为$L_o(x,\omega_o)$

$L_e(x,\omega_o)$：观察点$x$，在$\omega_o$方向的自发光
$\int_{H^2}f_r(x,\omega_o,\omega_i)L_i(x,\omega_i)\cos\theta_id\omega_i$：观察点$x$接受所有方向射来的光，反射到$\omega_o$方向的光
1. $f_r(x,\omega_o,\omega_i)$：观察点$x$，入射方向为$\omega_i$，反射方向为$\omega_o$，反射光能量占入射光能量的比例
2. $L_i(x,\omega_i)$：观察点$x$，接受到的入射方向为$\omega_i$的光的能量
3. $\cos\theta_i$：光线与平面的夹角

5.1.2 挑战1：如何得到irradiance

对光源的可见性（阴影）

光源本身的复杂性

5.1.4 挑战2：如何快速地在球面上进行积分

如何计算光与表面的作用，即材质的影响

5.1.5 挑战3：所有的物体都可能是光源

5.2 基础光照解决方案

5.2.1 简化光源：Main Light + Ambient Light + Environment Map

简化光源的种类：主光dominant light
1. 要么是点光源，要么是方向光源，要么是锥形光源
简化光场的表示：环境光ambient light
1. 将四面八方的光，用平均值代替

环境光贴图：Environment Map

贴图是一个立方体
根据顶点的法线方向，计算观察到的颜色

void main(){
    vec3 N = normalize(normal);
    vec3 V = normalize(camera_position - world_position);
    vec3 R = reflect(V,N);
    FragColor = texture(cube_texture, R);
}

5.2.2 简化积分：Blinn-Phong 材质

将材质分为三类：$L=L_a+L_d+L_s$

环境光项Ambient：$L_a=k_aI_a$
漫反射项Diffuse：$L_d=k_d\frac{I}{r^2}\max(0,\textbf{n}·\textbf{l})$
镜面反射项Specular：$L_s=k_s\frac{I}{r^2}\max(0,\textbf{n}·\textbf{h})^p$

5.2.3 阴影

目标问题：场景中看到的每个点，对于光源是否可见

解决方法：shadow map

从光的角度渲染一张深度图
观察时，每个点投影回光源的视角，根据深度判断是否可见

// 将当前点投影到shadow map
vec4 proj_pos = shadow_viewproj * pos;
// 从 homogeneous 转化为 clip space
vec2 shadow_uv = proj_pos.xy / proj_pos.w;
// 从 clip space 转化为 uv space
shadow_uv = shadow_ucv * 0.5 + vec2(0.5);
// 获取当前点的深度 [-1, +1]
float real_depth = proj_pos.z / proj_pos.w;
// 标准化到[0, 1]
real_depth = real_depth * 0.5 + 0.5;
// 从深度缓冲中读取深度
float shadow_depth = texture(shadowmap, shadow_uv).x;
// 计算是否在阴影中
float shadow_factor = 1.0;
if(shadow_depth < real_depth)
    shadow_factor = 0.0;

5.3 基于预计算的全局光照（空间换时间）

假设场景中90%的物体是不动的，每个场景太阳的角度是锁死的，那么就可以通过预计算，简化计算

5.3.1 全局光照：直接光照+间接光照

5.3.2 如何表示间接光照$L_i(x,\vec{\omega_i})$

5.3.2.1 傅里叶变换：

5.3.2.2 卷积定理：

5.3.2.3 球谐函数 Spherical Harmonics：

球谐函数本质上是一组基于球坐标系$(\theta,\phi)$的基函数，基函数的计算公式为：$Y_{lm}(\theta,\phi) &= N_{lm}P_{lm}(\cos\theta)e^{Im\phi} \\$

正交：任意两个基函数卷积为0
二阶导永远为0：函数永远是光滑的

$$ \[\begin{aligned} Y_{0, 0}(\theta,\phi) &= 1 \\ \\ Y_{1,-1}(\theta,\phi) &= y = \sin\theta\sin\phi \\ Y_{1, 0}(\theta,\phi) &= z = \cos\theta \\ Y_{1, 1}(\theta,\phi) &= x = \sin\theta\cos\phi \\ \\ Y_{2,-2}(\theta,\phi) &= xy = \sin^2\theta\sin\phi\cos\phi \\ Y_{2,-1}(\theta,\phi) &= yz = \sin\theta\cos\theta\sin\phi \\ Y_{2, 0}(\theta,\phi) &= 3z^2-1 = 3\cos^2\theta-1 \\ Y_{2, 1}(\theta,\phi) &= zx = \sin\theta\cos\theta\cos\phi \\ Y_{2, 2}(\theta,\phi) &= x^2-y^2 = \sin^2\theta(\cos^2\phi-\sin^2\phi) \\ \end{aligned}\]